Област на трапец: формули и методи за изчисление

За да се чувствате уверени и да решавате успешно задачи в уроците по геометрия, не е достатъчно да научите формули. Те първо трябва да бъдат разбрани. Да се страхуваш и още повече да мразиш формулите е непродуктивно. В тази статия ще бъдат анализирани различни начини за намиране на площта на трапец на достъпен език. За по-добро усвояване на съответните правила и теореми ще обърнем внимание на неговите свойства. Това ще ви помогне да разберете как работят правилата и в какви случаи трябва да се прилагат определени формули.

Дефиниране на трапец

Каква е тази цифра като цяло? Трапецът е многоъгълник с четири ъгъла и две успоредни страни. Другите две страни на трапеца могат да бъдат наклонени под различни ъгли. Неговите успоредни страни се наричат основи, а за неуспоредни страни се използва името "страни" или "хълбоци". Такива фигури са доста често срещани в ежедневието. Контурите на трапеца могат да се видят в силуетите на дрехи, предмети от интериора, мебели, съдове и много други. Трапецът може да бъде от различни видове: многостранен, равнобедрен и правоъгълен. Ще анализираме техните видове и свойства по-подробно по-късно в статията.

Свойства на трапеца

Нека се спрем накратко на свойствата на тази фигура. Сборът от ъглите, съседни на всяка страна, винаги е 180°. Трябва да се отбележи, че сумата от всички ъгли на трапеца е 360°. Трапецът има концепцията за средна линия. Ако свържете средните точки на страните със сегмент, това ще бъде средната линия. Означава се m. Средната линия има важни свойства: тя винаги е успоредна на основите (помним, че основите също са успоредни една на друга) и е равна на тяхната полусума:

m=(a+b)/2.

Това определение трябва да се научи и разбере, защото е ключът към решаването на много проблеми!

При трапеца винаги можете да намалите височината до основата. Надморската височина е перпендикуляр, често означаван със символа h, който е изтеглен от всяка точка на една основа към друга основа или нейно продължение. Средната линия и височината ще ви помогнат да намерите площта на трапеца. Такива задачи са най-често срещаните в училищния курс по геометрия и редовно се появяват сред контролните и изпитните работи.

Най-простите формули за лицето на трапец

Нека анализираме двете най-популярни и прости формули, които помагат да се намери площта на трапец. Достатъчно е да умножите височината по половината от сумата на основите, за да намерите лесно това, което търсите:

S=h(a + b)/2.

В тази формула a, b означават основите на трапеца, h - височината. За по-лесно четене в тази статия знаците за умножение са маркирани със символа () във формулите, въпреки че в официалните справочници знакът за умножение обикновено се пропуска.

Нека разгледаме един пример.

Дадено: Трапец с две основи 10 см и 14 см и височина 7 см. Каква е лицето на трапеца?

Нека анализираме решението на този проблем. Използвайки тази формула, първо трябва да намерите полусумата на базите: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Така че полусумата е 12 см. Сега умножаваме полусумата по височината: 127 \u003d 84. Желаното е намерено. Отговор: Площта на трапец е 84 квадратни метра. виж

Втората добре позната формула гласи: площта на трапеца е равна на произведението на средната линия и височината на трапеца. Тоест, всъщност следва от предишната концепция за средната линия: S=mh.

Използване на диагонали за изчисления

Друг начин за намиране на площта на трапец всъщност не е толкова труден. Свързва се с неговите диагонали. Съгласно тази формула, за да намерите площта, трябва да умножите полупродукта на нейните диагонали (d₁ d_{2) по синуса на ъгъл между тях:}

S=½ d₁ d_{2 sin a.}

Нека разгледаме задача, която показва приложението на този метод. Дадено е: трапец с дължина на диагонала съответно 8 и 13 см. Ъгълът a между диагоналите е 30°. Намерете лицето на трапеца.

Решение. С помощта на горната формула е лесно да се изчисли какво е необходимо. Както знаете, sin 30° е 0,5. Следователно S=8130,5=52. Отговор: Площта е 52 квадратни метра. виж

Търсене на площта на равнобедрен трапец

Трапецът може да бъде равнобедрен (равнобедрен). Страните му са еднакви, а ъглите при основите са равни, което е добре илюстрирано на фигурата. Равнобедреният трапец има същите свойства като обикновения трапец, плюс редица специални. Около равнобедрен трапец може да бъде описана окръжност и в нея може да бъде вписана окръжност.

Какви са методите за изчисляване на площта на такава фигура? Методът по-долу ще изисква много изчисления. За да го използвате, трябва да знаете стойностите на синуса (sin) и косинуса (cos) на ъгъла в основата на трапеца. Техните изчисления изискват или таблици на Bradis, или инженерен калкулатор. Ето формулата:

S=c sin a (a – c cos a), където c е страничното бедро, a е ъгълът в долната основа.

Равнобедреният трапец има диагонали с еднаква дължина. Обратното също е вярно: ако диагоналите на трапец са равни, то той е равнобедрен. Оттук и следната формула, която помага да се намери площта на трапец - полупродуктът на квадрата на диагоналите и синуса на ъгъла между тях: S=½ d^{2грях а.}

Намерете лицето на правоъгълен трапец

Има специален случай на правоъгълен трапец. Това е трапец, в който едната страна (бедрото) граничи с основите под прав ъгъл. Има свойствата на обикновен трапец. Освен това има много интересна функция. Разликата на квадратите на диагоналите на такъв трапец е равна на разликата на квадратите на неговите основи. За него се използват всички горепосочени методи за изчисляване на площта.

Използвайте изобретателността си

Има един трик, който може да помогне в случай на забравяне на определени формули. Нека да разгледаме по-отблизо какво е трапец. Ако мислено го разделим на части, тогава ще получим познати и разбираеми геометрични фигури: квадрат или правоъгълник и триъгълник (един или два). Ако знаете височината и страните на трапеца, можете да използвате формулите за площта на триъгълник и правоъгълник и след това да добавите всички получени стойности.

Нека илюстрираме това със следния пример. Даден е правоъгълен трапец. Ъгъл C=45°, ъгли A, D са 90°. Горната основа на трапеца е 20 см, височината е 16 см. Необходимо е да се изчисли площта на фигурата.

Решение

Тази фигура очевидно се състои от правоъгълник (ако два ъгъла са 90°) и триъгълник. Тъй като трапецът е правоъгълен, следователно височината му е равна на страната му, тоест 16 см. Имаме правоъгълник със страни съответно 20 и 16 см. Помислете сега за триъгълник, чийто ъгъл е 45°. Знаем, че една от страните му е 16 см. Тъй като тази страна е и височината на трапеца (и знаем, че височината пада върху основата под прав ъгъл), следователно вторият ъгъл на триъгълника е 90 °. Следователно оставащият ъгъл на триъгълника е 45°. В резултат на това получаваме правоъгълен равнобедрен триъгълник, в който двете страни са еднакви. Това означава, че другата страна на триъгълника е равна на височината, тоест 16 см. Остава да се изчисли площта на триъгълник и правоъгълник и да се съберат получените стойности.

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на неговите катети: S=(1616)/2=128. Площта на правоъгълник е равна на произведението от неговата ширина и дължина: S=2016=320. Намерихме необходимото: площта на трапеца S=128 + 320=448 кв. вижте Можете лесно да се проверите отново, като използвате горните формули, отговорът ще бъде идентичен.

Използвайте формулата за пикове

Накрая, ето още една оригинална формула, която помага да се намери площта на трапец. Нарича се формула Pick. Удобно е да го използвате, когато трапецът е начертан върху карирана хартия. Подобни задачи често се срещат в материалите на GIA. Изглежда така:

S=M/2 + N – 1, в тази формула M е броят на възлите, т.е. пресечни точки на линиите на фигурата с линиите на клетката по границите на трапеца (оранжеви точки на фигурата), N е броят на възлите във фигурата (сини точки). Най-удобно е да го използвате, когато намирате площта на неправилен многоъгълник. Но колкото по-голям е арсеналът от използвани техники, толкова по-малко грешки и по-добри резултати.

Разбира се, горната информация далеч не изчерпва видовете и свойствата на трапеца, както и начините за намиране на неговата площ. Тази статия предоставя преглед на най-важните му характеристики. При решаването на геометрични задачи е важно да действате постепенно, да започнете с лесни формули и задачи, последователно да консолидирате разбирането, да преминете към друго ниво на сложност.

Най-често срещаните формули, събрани заедно, ще помогнат на учениците да се ориентират в различните начини за изчисляване на площта на трапец и по-добре да се подготвят за тестове и тестове по тази тема.